行和列的形式组织数字块。
行列相同的矩阵---
方阵\[ \begin{bmatrix}m_{11}&m_{12}&m_{13}\\m_{21}&m_{22}&m_{23}\\m_{31}&m_{32}&m_{33}\end{bmatrix} \]- 对角矩阵，非对角线都为0，对角线可0可非0的
特殊方阵
\[ \begin{bmatrix}m_{11}&0&0\\0&m_{22}&0\\0&0&m_{33}\end{bmatrix} \]
- 单位矩阵I，对角线元素为1
的
特殊对角矩阵\[ \begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix} \]
- 对角矩阵，非对角线都为0，对角线可0可非0的
单行单列矩阵---
向量\[ 行矩阵(向量) \begin{bmatrix}m_{11}&m_{12}&m_{13}\end{bmatrix} \]\[ 列矩阵(向量)\begin{bmatrix}m_{11}\\m_{12}\\m_{13}\end{bmatrix} \]
矩阵运算
- 矩阵转置
\[ M^{T}_{ij} = M_{ji} \]
\[ 例如： \begin{bmatrix}1&2\\3&4\\5&6\end{bmatrix}^T = \begin{bmatrix}1&3 &5\\2&4&6\end{bmatrix} \]
标量与矩阵乘法，标量与矩阵每个元素相乘。 \[ k \begin{bmatrix}m_{11}&m_{12}&m_{13}\\m_{21}&m_{22}&m_{23}\\m_{31}&m_{32}&m_{33}\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}km_{11}&km_{12}&km_{13}\\km_{21}&km_{22}&km_{23}\\km_{31}&km_{32}&km_{33}\end{bmatrix} \]
矩阵和矩阵乘法，A B矩阵相乘，前提是 A的列必须等于 B的行， 结果为 A行B列的矩阵。 \[ C_{ij} = \sum_{k=1}^{n}a_{ik}b_{ki}, n为 a的列，b的行 \] a的 i行 对应乘以 b的j列，然后求和 作为 ij的值。 \[ 例如： \begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}b_{11}&b_{12}\\b_{21}&b_{22}\\b_{31}&b_{32}\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a_{11}b_{11}+a_{12}b_{21} + a_{13}b_{31}& a_{11}b_{12}+a_{12}b_{22} + a_{13}b_{32}\\ a_{21}b_{11}+a_{22}b_{21} + a_{23}b_{31}& a_{21}b_{12}+a_{22}b_{22} + a_{23}b_{32} \end{bmatrix} \]
\[ 例如： \begin{bmatrix} 1&3&5\\7&9&11 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2&4\\6&8\\10&12 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1*2+3 *6 + 5*10& 1*4 + 3*8 + 5*12\\ 7*2 + 9* 6 + 11 * 10& 7*4 + 9*8 + 11 * 12 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 70 & 88\\ 178 & 316 \end{bmatrix} \]
任意矩阵
M乘以方阵S等于原矩阵， \[ MI = IM= M \]
矩阵乘法
满足结合律（标量也适用），不满足交换律, 标量满足交换律，矩阵相乘的转置 等于每个转置的乘法矩阵几何解释
- 旋转
- 缩放
- 投影
- 镜像
- 仿射
矩阵变换向量的过程：
例如 [1, -3, -4] ,可理解为 [0,0,0] 先位移 [1,0,0], 再位移 [0,-3,0] ，再位移 [0,0,-4] \[ \begin{bmatrix} 1 \\-3\\ -4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\0 \\0 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 \\-3 \\0 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 \\0 \\-4 \end{bmatrix} \]
对于任意的向量
v都能协成'拓展'形式 \[ v = \begin{bmatrix} x \\y\\ z \end{bmatrix} = x\begin{bmatrix} 1 \\0 \\0 \end{bmatrix} + y\begin{bmatrix} 0 \\1 \\0 \end{bmatrix} + z\begin{bmatrix} 0 \\0 \\1 \end{bmatrix} 【1】 \]如果把公式 【1】的单位向量分别用 p,g,r（基向量需要线性无关） 代替，则可写成 \[ v = xp + yg+ zr 【2】 \]
将向量表示为基向量的线性组和 \[ M = \begin{bmatrix} p \\g\\ r \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} p_x & p_y & p_z \\g_x&g_y&g_z \\r_x&r_y&r_z \end{bmatrix} 【3】 \]
使用公式【3】M展开公式【2】 \[ \begin{bmatrix} x &y&z \end{bmatrix}\ \begin{bmatrix} p_x & p_y & p_z \\g_x&g_y&g_z \\r_x&r_y&r_z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} xp_x + yg_x +zr_x & xp_y + yg_y +zr_y & xp_z + yg_z + zr_z \end{bmatrix} == xp + yg+ zr【4】 \]
证明【4】最后一步，又因为 M为基向量的展开式，所以 \[ \begin{bmatrix} x &y&z \end{bmatrix}\ \begin{bmatrix} p_x & p_y & p_z \\g_x&g_y&g_z \\r_x&r_y&r_z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x &y&z \end{bmatrix}\ \begin{bmatrix} p \\g \\r \end{bmatrix} \]
\[ 所以 \begin{bmatrix} xp_x + yg_x +zr_x & xp_y + yg_y +zr_y & xp_z + yg_z + zr_z \end{bmatrix} = xp + yg+ zr \]
